Année 2017-2018

Enseignement de spécialité

Année 2017-2018

• DS suites
• DS  suites et continuité
• DS  fonctions exponentielles
• DS  probabilités
• DS1 logarithme népérien et intégration
• DS2  logarithme népérien et intégration
• DS  suites 2017-2018
• DS  dérivation 2017-2018 
• DS  fonctions exponentielles  2017-2018 
• DS  logarithme népérien et probabilités 2017-2018  
• DS2  logarithme népérien et probabilités 2017-2018
• DS  convexité et probabilités 2017-2018
• DS1  graphes non orientés
• DS2  graphes orientés 
• DS1  calcul matriciel   
• DS2  calcul matriciel 
• DS  graphe probabiliste  
• DS  graphes non orientés 2017-2018 
• DS  graphes orientés 2017-2018  
• DS  algorithme de Dijkstra 2017-2018
• DS  graphes probabilistes 2017-2018 

DM produit matriciel (spé)

Exercice

On donne les matrices :
\(  M= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \text{et} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ I= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
Partie A
\( 1)  \ \ \  \)   Calculer à la main et en détaillant vos calculs \(  M^{2}. \)
On admet que :  \(  M^{^{3}}= \begin{pmatrix} 20 & 10 & 11 \\ 12 & 2 & 9 \\ 42 & 20 & 21 \end{pmatrix}  \)
\( 2)  \ \ \  \)   Vérifier, à la main et en détaillant vos calculs, que :
\[  M^{^{3}}= M^{^{2}}+8M+6I  \]
\( 3)  \ \ \  \) Calculer, à la calculatrice, le produit :
\[  M \times \dfrac{1}{6}\left( M^{^{2}}- M- 8I \right) \]
Que peut-on en déduire pour la matrice \(  \dfrac{1}{6}\left( M^{^{2}}- M- 8I \right)  ? \)

Partie B
On cherche à déterminer trois nombres entiers \( a \),  \( b \)  et  \( c \) tels que la courbe représentant la fonction \( f \)  définie par  \( f\left(x\right)=ax^{^{2}}+bx+c \) passe par les points  \( A\left(1;1\right) \),  \( B\left(-1; -1\right) \)   et  \( C\left(2;5\right). \)
\( 1)  \ \ \  \)   Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers  \( a \) ,  \( b \) , et  \( c \)  tels que:

\[ M \times \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}  \]
\( 2)  \ \ \  \) Calculer les nombres  \( a \),  \( b \) et  \( c. \)
\( 3)  \ \ \  \) Déterminer les variations de la fonction  \( f \)  sur  \( \left[-1; 2\right] \)

 Nouvel intervalle de fluctuation à \( 95 \% \)

Exercice

Jacques se présente aux élections des délégués au conseil de la vie lycéenne de son lycée. Il est élu avec  \( 60 \% \) des voix. Donc la proportion d’élèves ayant voté pour Jacques est \( p=0,6.  \) On interroge \( n \) élèves du lycée.
Soit  \( X_{n} \) la variable aléatoire égale au nombre d’élèves ayant voté pour Jacques, parmi les \( n \)  élèves interrogés.

\( 1)  \ \ \  \)  La variable aléatoire \( X_{n} \)  suit la loi binomiale  \(  \mathscr{B}(n;0,6) . \)

\( \ \ \) \( a)  \ \ \  \) Calculer l’espérance et l’écart type de  \( X_{n}. \)
\( \ \ \) \( b)  \ \ \  \) Soit  \( Z_{n} \) la variable aléatoire centrée réduite de  \( X_{n} \), définie par \( \mathbf{ Z_{n}=\dfrac{X_{n}-0,6n}{\sqrt{0,24n}} }. \)
Quelle loi suit la variable aléatoire  \( Z_{n} \)  ?
Montrer que :
\[ \mathbf{a \leq Z_{n} \leq b \ \ \ \Longleftrightarrow 0,6n + a\sqrt{0,24n} \leq X_{n} \leq 0,6n +b\sqrt{0,24n} } . \]
\( \ \ \) \( c)  \ \ \  \) On considère la variable aléatoire «  fréquence »  \(  \mathbf{ F_{n}=\dfrac{1}{n} X_{n}}  \) qui, à un échantillon de taille \( n \) , associe la fréquence du caractère dans l’échantillon.
Montrer que :
\[  \mathbf{ a \leq Z_{n} \leq b \ \ \ \Longleftrightarrow 0,6 + a \times \dfrac{ \sqrt{0,24} }{ \sqrt{n}} \leq F_{n} \leq 0,6 + b \times \dfrac{ \sqrt{0,24} }{ \sqrt{n}} } . \]
\( \ \ \) \( d)  \ \ \  \) On prend pour valeurs de  \( a \)  et \( b \)  :  \( a=-1,96 \) et  \( b=1,96. \)
Donner l’encadrement de \( F_{n}. \)

\( 2)  \ \ \  \) Le  théorème de Moivre-Laplace  énonce que, lorsque  \( n \) prend de très grandes valeurs, la variable aléatoire  \( Z_{n} \)  suit approximativement la loi normale \( \mathscr{N}(0;1). \)

\( \ \ \) \( a)  \ \ \  \) Déterminer la valeur arrondie au centième près du nombre \( a \) tel que \(  \mathbf{ P(Z \in \left[ -a \ ; \ a \right]) \approx 0,95 }. \)
\( \ \ \) \( b)  \ \ \  \) En utilisant la question 1-C., donner, lorsque  \( n \) prend de très grandes valeurs un encadrement probable de  \(  \mathbf{F_{n}}.  \)
Soit  \( I_{n}  \)  l’intervalle \(  \mathbf{ \left[ 0,6-1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,24}}{\sqrt{n}} \ ; \ 0,6+1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,24}}{\sqrt{n}} \right] }. \)  Alors,  \( \mathbf{ P( F_{n} \in I_{n} ) \approx 0.95}.  \)

Cet intervalle est appelé intervalle de fluctuation asymptotique à  \( 95 \% \) de la variable aléatoire  \(  \mathbf{F_{n}}. \)

\( \ \ \) \( c)  \ \ \  \) On interroge  \( 10, \ \ \ 200, \ \ \ 400,\ \ \ 1\;000 \ \ \text{et} \ \ 1\;200  \) élèves du lycée.
Déterminer, dans chacun des cas , l’intervalle de fluctuation asymptotique à  \( 95 \% \)  de \( \mathbf{F_{n}}. \)
(On arrondira les bornes au millième près.)
Comparer les bornes et les longueurs des intervalles obtenus quand \( n \) prend de grandes valeurs.